民法上、6親等以内の血族と配偶者、3親等以内の姻族を法律上の親族としていますので、子供として、お母さんの財産(賃借権)の相続権があります。
お母さんさんが借主となって、アパートを借りていたわけですので、子供さんは、住む権利(賃借権)を相続することができます。
相続権については、大家さんの承諾を得る必要はありませんし、大家さんは、相続人(子供)の住む権利を拒否できません。
大家さんは、民法の規定を無視しているので、「民法上の当然の権利として、賃借権を相続できるので住み続けます。」と言ってください。
名義変更そのものについては、してもしなくても住み続けることができますが、契約更新の時点で名義変更を行ったほうがよいでしょう。まして新たな契約者は成人にもなっていることですから問題ありません。
この場合は新たに連帯保証人を追加させられますよ。
賃借権の相続とは・・・賃貸借更新契約書